Domos Geodésicos Tridimensionales

DOMOS GEODÉSICOS GENERADOS POR POLIEDROS REGULARES

Francisco Martínez Cendra

Por definición un domo geodésico poliédrico es un tipo estructura capaz de inscribirse en una esfera.

Por lo general se emplean domos generados a partir de un icosaedro. Este volumen pertenece uno de los cinco poliedros regulares de Platón y al ser el que posee mayor número de caras fue elegido por Buckiminster Fuller para desarrollar la teoría que lo signaría como el padre de las geodésicas.

Pero esta no es la única forma de hacer una estructura geodésica.

Podemos hacer domos generados por el tetraedro, el octaedro, el cubo, el dodecaedro y, por supuesto, el icosaedro; además de otras formas que veremos más adelante.

En tal sentido hay que entender que una geodésica poliédrica será la unión de cada una de las caras esféricas del poliedro las cuales se han dividido en partes donde cada una de ellas ha sido proyectada, por decirlo así, a la esfera que encierra el poliedro.

Esta sub división que se realiza en las caras del poliedro es llamada frecuencia.

Figura N° 1

El primer triángulo se denomina Triángulo básico y no es otra cosa más que uno de los diferentes polígonos que forman un poliedro regular, el segundo es de frecuencia dos, el tercero de frecuencia tres y así sucesivamente.

Cabe aclarar que la subdivisión del triángulo básico no forma una serie de pequeños triángulos equiláteros, de hecho, son diferentes unos de otros según ciertas propiedades geométricas.

Figura N° 2

Esto se aplica, como es lógico, para tres de los cinco poliedros regulares, el tetraedro, octaedro e icosaedro. En el caso de los otros poliedros hablaremos de cuadrado básico para el cubo con sus respectivas divisiones o frecuencia y pentágono básico con sus divisiones respectivas para el caso del dodecaedro.

Estas divisiones se practicarán en función a varios factores, por un lado tenemos la resistencia que se desee obtener ya que como cualquier estructural sabe, basta con reticular una estructura para disminuir el largo de las barras y de esta manera lograr mayor resistencia y mayor luz a cubrir y, a mayor frecuencia, mayor curvatura esférica, de tal suerte que podríamos decir que una esfera es una geodésica de frecuencia infinita.

Para calcular el tamaño de las barras se relaciona el radio de la esfera que contiene al poliedro que genera la geodésica con una constante “k” relativa a cada barra.

GEODÉSICAS POLIEDRICAS

GEODÉSICA TETRAEDRICA

Definimos un tetraedro regular como un poliedro formado por cuatro caras las cuales son triángulos equiláteros, y con cuatro vértices donde en cada uno de los cuales concurren tres de las cuatro caras o planos que conforman este poliedro.

Figura N° 3

En la Figura N°3 tenemos tres triángulos esféricos tetraédricos de frecuencia 2, 3 y 4; para encontrar la medida de cada una de las barras bastará con multiplicar la constante relativa de cada barra por el radio de la esfera que encierra la geodésica, según las siguientes tablas:

TETRAEDRO F2	Diedro
U AB	54.736	K AB=	0.91940773
U BB	90.000	K BB=	1.41421356

TETRAEDRO F3	Diedro
U AB	29.496	K AB=	0.50913638
U BB	50.479	K BB=	0.85280597
U BC	58.518	K BC=	0.97751657

TETRAEDRO F4	Diedro
U AB	19.471	K AB=	0.33820016
U BB	33.557	K BB=	0.57734509
U BC	35.264	K BC=	0.60580441
U BD	30.000	K BD=	0.51763809
U CD	45.000	K CD=	0.76536686
U DD	60.000	K DD=	1

Figura N° 4

En la Figura N°4 vemos como cada uno de los cuatro triángulos básicos del tetraedro se convierte en un triángulo esférico (de frecuencia tres en este caso) La “redondez” del resultado final dependerá de la frecuencia, a mayor frecuencia mayor perfección.

GEODESICA OCTAÉDRICA

Siendo el Octaedro una figura regular de ocho caras triangulares, estas van a generar una geodésica compuesta por ocho triángulos básicos, a diferencia del caso anterior donde las geodésicas tetraédricas eran formadas por tan sólo cuatro triángulos.

Una de las principales virtudes de este tipo de estructuras es que la base siempre estará inscrita en un cuadrado lo cual facilita el diseño, tal como se puede apreciar en la figura N°5 donde apreciamos un triángulo esférico de frecuencia cuatro insertado dentro de la geometría de un octaedro.

Figura N° 5.

Figura N° 6

En la Figura N°6 tenemos tres triángulos esféricos octaédricos de frecuencia 2, 3 y 4; para encontrar la medida de cada una de las barras bastará con multiplicar la constante relativa de cada barra por el radio de la esfera que encierra la geodésica, según las siguientes tablas:

OCTAEDRO F2	Diedro
U AB	45.000	K AB=	0.76536686
U BB	60.000	K BB=	1.00000000

OCTAEDRO F3	Diedro
U AA	26.565	K AA=	0.45950497
U BB	36.870	K BB=	0.63245723
U BC	39.232	K BC=	0.67142926
OCTAEDRO F4	Diedro
U AB	18.435	K AB=	0.32036537
U BB	25.842	K BB=	0.44721474
U BD	25.352	K BD=	0.43887511
U DC	30.000	K DC=	0.51763809
U BC	26.565	K BC=	0.45950497
U DD	33.557	K DD=	0.57734509

Foto N° 7 Maqueta de una Geodésica octaédrica de frecuencia 3

Foto N° 8 Geodésica octaédrica de frecuencia 3 realizada con tubos de PVC por los alumnos de la Universidad Científica del Sur.

GEODESICA HEXAEDRICA

Siendo el hexaedro una figura regular de seis caras cuadradas, estas van a generar una geodésica compuesta por seis cuadrados esféricos básicos, a diferencia de los casos anteriores donde las geodésicas tetraédricas y octaédricas eran formadas por cuatro u ocho triángulos esféricos respectivamente.

Figura N°9, Geodésica generada a partir de un cubo

Figura N° 10

En la figura N°9 se pude apreciar cómo se dividen las caras del cubo según la frecuencia que deseemos donde aparecen cuatro cuadriláteros en la frecuencia dos, nueve cuadriláteros en la frecuencia tres, dieciséis para la frecuencia cuatro, etcétera. Sin embargo existen dos problemas, los cuadriláteros no son estructuralmente estables y no necesariamente forman un plano como el caso de los triángulos, razón por la cual introducimos dentro de este esquema geodésico un sistema de barras de refuerzo a fin de estabilizar el conjunto tal como apreciamos en la figura N°10, donde vemos que al trazar los arcos correspondientes encontramos los puntos centros de cada cuadrilátero que nos permitirán triangular el sistema y formar secciones planas que permitan elaborar una cobertura.

Figura N° 11: Cuadrado Esférico Hexaédrico de frecuencia dos

Figura N° 12: Cuadrados Esféricos Hexaédricos frecuencia dos y tres con sus respectivas barras de refuerzo.

GEODESICA HEXADRICA DE F- 2
U AB	35,264	K AB=	0,60580441
U BC	45,000	K BC=	0,76536686

		BARRAS DE REFUERZO
U BD	30,000	K BD=	0,51763809
U DC	35,264	K DC=	0,60580441
U DA	19,471	K DA=	0,33820016

GEODESICA HEXADRICA DE F- 3
U AB	22,002	K AB=	0,38165226
U BB	26,525	K BB=	0,45882549
U BE	25,943	K BE=	0,44893271
U EE	35,097	K EE=	0,60302600

		BARRAS DE REFUERZO
U AC	11,422	K AC=	0,19902157
U BC	18,932	K BC=	0,32892461
U CE	18,074	K CE=	0,31414451
U BD	17,364	K BD=	0,30190054
U DE	23,093	K DE=	0,40032631
U EF	25,239	K EF=	0,43695074

Figura N° 13: Cuadrado Esférico Hexaédrico de frecuencia 6 con sus respectivas barras de refuerzo.

La frecuencia, como se puede apreciar, puede aumentar tanto como sea necesario a fin de lograr una mayor resistencia estructural con el objetivo de aumentar la luz libre. En el libro “De Cúpulas Geodésicas, Fractales, Tensegritys y Algo Más” se desarrollan todos estos ejemplos hasta la frecuencia seis con sus respectivas tablas.

GEODESICA ICOSAEDRICA

Generada por un poliedro compuesto por veinte caras formadas por triángulos equiláteros. Este sólido platónico posee muchas características que lo hacen particularmente especial; es el poliedro regular con mayor número de caras lo cual lo hace particularmente interesante en la concepción de la geometría geodésica, es más, como veremos un poco más adelante, la geodésica icosaédrica de frecuencia tres, llamada también hexapenta no es otra cosa que un balón de futbol. Pero tal vez la cualidad más interesante de todas es su estrecha relación con el rectángulo más curioso de todos los rectángulos, el paralelepípedo recto que maravilló a los griegos y que se convirtió en un instrumento de culto el cual emplearon en múltiples obras de arte y de arquitectura, una proporción rectangular que hasta el día de hoy fascina a los artistas y diseñadores; nos referimos al rectángulo áureo.

Figura N° 14: Tres rectángulos áureos que se intersecan entre si por el centro de cada plano determinan un Icosaedro al unir los vértices de cada rectángulo; del mismo modo, cada vértice coincide con el centro de cada pentágono que determina un dodecaedro.

Figura N° 15 Triángulos Esféricos Icosaédricos de frecuencia dos, tres y cuatro.

Al igual que en todos los casos estudiados, se puede añadir un sistema de barras de refuerzo que relaciona los vértices del triángulo con el baricentro del mismo.

Figura N° 16 Triángulos Esféricos Icosaédricos de frecuencia dos, tres y cuatro con sus respectivas barras de refuerzo y barras estabilizadoras.

ICOSAEDRO F2
1	U AB	31,717	K AB=	0,546525093
2	U BB	36,000	K BB=	0,618033989

ICOSAEDRO F2: BARRAS DE REFUERZO
3	U AP	17,479	K AP=	0,303884514
4	U BP	20,095	K BP=	0,348929109
5	U BQ	20,905	K BQ=	0,362840628
ICOSAEDRO F2: BARRAS ESTABILIZADORAS
6	U PQ	19,898	K PQ=	0,345543028
7	U PP'	22,388	KPP'=	0,388263250

ICOSAEDRO F3
1	U AB		20,077	K AB=	0,348619763
2	U BB		23,281	K BB=	0,403540584
3	U BC		23,800	K BC=	0,412408371

ICOSAEDRO F3: BARRAS DE REFUERZO
4	U AP		10,922	K AP=	0,190336371
5	U BP		12,880	K BP=	0,224325372
6	U BQ		13,368	K BQ=	0,232786774
7	U CQ		14,286	K CQ=	0,248692357
ICOSAEDRO F3: BARRAS ESTABILIZADORAS
8	U PQ		12,169	K PQ=	0,211990146
9	U QQ		14,175	K QQ=	0,246769961
10	U PP'		12,788	K PP'=	0,222729729
11	U QQ'		13,650	K QQ=	0,237674440
ICOSAEDRO F4
1		U AB	14,545	K AB=	0,253177038
2		U BC	17,172	K BC=	0,298587480
3		U BB	16,978	K BB=	0,295239062
4		U BD	16,937	K BD=	0,294531298
5		U CD	18,000	K CD=	0,312868930
6		U DD	18,699	K DD=	0,324912686
ICOSAEDRO F4: BARRAS DE REFUERZO
7		U AP	7,880	K AP=	0,137423578
8		U BP	9,367	K BP=	0,163302989
9		U BQ	9,806	K BQ=	0,170938183
10		U DQ	9,783	K DQ=	0,170538223
11		U BR	9,669	K BR=	0,168555710
12		U DR	10,161	K DR=	0,177110600
13		U CR	10,293	K CR=	0,179405265
14		U CS	10,268	K CS=	0,178970688
15		U DS	10,679	K DS=	0,186114046
16		U DT	10,812	K DT=	0,188425136
ICOSAEDRO F4: BARRAS ESTABILIZADORAS
17		U PQ	8,902	K PQ=	0,155212984
18		U QR	10,118	K QR=	0,176363044
19		U RS	10,259	K RS=	0,178814238
20		U ST	10,637	K ST=	0,185384176
21		U PP'	9,245	K PP'=	0,161180705
22		U RR'	10,211	K RR=	0,177979819

Tabla 4.22

Ejemplo del cálculo de una Geodésica Icosaédrica de Frecuencia Tres.

El siguiente ejemplo fue desarrollado por los alumnos del curso de Orientación Estructural que dicté en el primer semestre del año 2002 en la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad San Martín de Porres.

Se realizó una geodésica de radio 3.00m con tubos de PVC de 3/4” de grosor. Primero se realizaron maquetas en escala 1/20 para entender los procesos constructivos, luego se trabajó el proyecto en escala 1/1.

Foto N° 17 Los alumnos ponen en práctica los conceptos en una maqueta a escala 1/20.

Foto N° 15: Se calienta el extremo del tubo de PVC de 3/4” y se aplastan los extremos del tubo de PVC con una prensa improvisada de madera.

Foto N° 16: Se marca con mucha precisión tomando en cuenta el largo de cada barra y se hacen las respectivas perforaciones en los extremos aplastados de las barras. Hay que tomar en cuenta que la medida de cada barra que resulta de emplear las fórmulas será tomada desde el centro de cada orificio hasta el centro del orificio del otro extremo de la barra.

Foto N° 17 Detalle de un nudo típico y proceso de ensamblado de barras

Foto N° 18 Estructura geodésica de frecuencia tres terminada y alumnos del curso.

Foto N° 19 Estructura geodésica de frecuencia tres realizada con listones de madera y uniones de aluminio; alumnos del curso Construcción II dictado por el autor. Universidad Científica del Sur, escuela de Arquitectura primer semestre del año 2015 .

Podemos plantear un reto adicional, construir un domo geodésico empleando conceptos de tensegridad.

La Tensegridad es un principio estructural en el cual se tienen elementos rígidos (barras) y elementos traccionados (cables) que comprimen los elementos rígidos. Este tipo de estructuras están concebidas de tal forma que las barras no se tocan entre si y se unen solo mediante cables tensados dando la extraña sensación de barras flotando y desafiando las leyes de la naturaleza.

Foto N° 20: Maqueta de una Geodésica Icosaédrica de Tensegridad de frecuencia tres.

Se eligió para este caso igualmente una geodésica icosaédrica de frecuencia tres pero aumentando el radio a cuatro metros. Al igual que en el caso anterior se preparó una maqueta la cual se muestra en la foto N° 19 y luego se preparó a modo de muestra un módulo el cual sirvió para que los alumnos entiendan el principio de la tensegridad donde se puede apreciar como la barra central queda estabilizada con cables de acero.

Los alumnos fabricaron las piezas cortando tubos de PVC de 1½” las cuales fueron unidas mediante un nudo elaborado con piezas metálicas, luego se empleó un cable de acero para equilibrar los elementos estructurales según la lógica tensegrítica.

Foto N° 21: Alumnos de la FIA USMP armando la Geodésica Icosaédrica de Tensegridad de frecuencia tres.

Foto N° 22: Detalle del nudo y de las barras flotantes
.

Foto N° 23: Geodésica Icosaédrica Tensegrítica de frecuencia tres.

Finalmente, gracias al esfuerzo de los entusiastas alumnos del curso de Orientación Estructural de la FIA USMP primer semestre del año 2003, se logró construir la primera Geodésica Icosaedrica Tensegrítica de Frecuencia Tres.

GEODESICA DODECAEDRICA

Este es un poliedro compuesto por doce caras pentagonales que al igual que el caso del cubo presentará una peculiar frecuencia.

En todos los casos anteriores vimos que la frecuencia en una geodésica es el número de particiones con que se divide el triángulo esférico para el caso de las geodésicas tetraédricas, octaédricas e icosaédricas y en el cuadrado esférico para el caso particular de las geodésicas hexaédricas, pero cuando analizamos una geodésica dodecaédrica nos encontramos con un nuevo concepto, el pentágono esférico.

Figura N° 24. Estudio de la frecuencia pentagonal.

En el caso de la frecuencia uno encontramos el centro del pentágono y lo proyectamos a la esfera para luego unir los vértices del pentágono con este nuevo punto, de tal suerte que tendremos cinco triángulos isósceles. Cada triángulo es tratado como cualquiera de los triángulos esféricos vistos anteriormente.

Figura N° 25: Pentágono Esférico Dodecaédrico de frecuencia uno con barras de refuerzo.

DODECAEDRO TRIANGULAR F 1
1	U AA	41,810	K AA=	0,713639045
2	U AB	37,377	K AB=	0,640845734
DODECAEDRO TRIANGULAR F-1 REFUERZO
3	U AC	23,482	K AC=	0,406975921
4	U BC	20,774	K BC=	0,360591951
DODECAEDRO TRIANGULAR F-1 ESTABILIZADORAS
5	U CC	24,066	K CC=	0,416950058

Figura N° 26: Pentágono Esférico Dodecaédrico de frecuencia dos con barras de refuerzo.

DODECAEDRO TRIANGULAR F-2
1	U AB	20.905	K AB=	0.362840628
2	U AC	16.472	K AC=	0.286501601
3	U CB	18.841	K CB=	0.327357880
4	U CC	24.214	K CC=	0.41947604
5	U CD	20.905	K CD=	0.362840628
DODECAEDRO TRIANGULAR F-2 REFUERZO
6	U AE	10.874	K AE=	0.189502399
7	U BE	12.099	K BE=	0.210775259
8	U CE	9.530	K CE=	0.166138210
9	U BF	9.635	K BF=	0.167964402
10	U CF	13.051	K CF=	0.227290801
11	U CG	13.402	K CG=	0.233376142
12	U DG	11.381	K DG=	0.198309524
DODECAEDRO TRIANGULAR F-2 ESTABILIZADORAS
13	U EF	12.056	K EF=	0.210028932
14	U FG	10.701	K FG=	0.186496349
15	U GG	13.321	K GG=	0.231972025