PARTE II

GEODÉSICAS POLIEDRICAS IRREGULARES

                                                                  Siempre habrá algo más por descubrir. 

Francisco Martínez Cendra

En la primera parte de mi libro “De Cúpulas Geodésicas, Fractales, Tensritys y Algo Más” se estudian diversas formas de las estructuras geodésicas, se analizaron los cinco cuerpos de Platón y en cada caso se planteó la frecuencia con resultados particulares para cada caso, dentro del trabajo de análisis que se realizó, se remplazaron algunas barras por cables para acercarnos a la teoría de la tensegridad y de esta manera lograr diferentes alternativas de diseño. Se dividieron fractalmente los triángulos, cuadrados o pentágonos esféricos para lograr las distintas frecuencias que hacían más o menos reticulada la estructura; sin embargo todo lo anterior no ha sido más que una excusa para adentrarnos en un universo poco explorado que se inicia con los poliedros irregulares, los cuales no son, como en el caso anterior, solamente cinco sino que son infinitos. Aquí tenemos una variedad ilimitada de posibilidades.

Veremos que es posible generar estructuras geodésicas con estos poliedros irregulares, los cuales tendrán como única condición que puedan estar inscritos en una esfera, es decir que todos y cada uno de sus vértices formen parte de la esfera que contiene al poliedro. Es más, en realidad podemos afirmar que cualquier polígono que pueda proyectarse a una esfera puede generar una estructura geodésica; esto lo veremos un poco más adelante.

Si analizamos lo anterior veremos que, en efecto, las posibilidades de diseño son realmente ilimitadas, teniendo como único parámetro nuestra propia imaginación.

GEODESICA BASADA EN DOS CUBOS

Tomamos como ejemplo dos cubos de lado “a” y unimos estos dos hexaedros por una de las caras para formar de esta manera un poliedro irregular denominado paralelepípedo y cuyos lados son “a” y “2a”; este cuerpo es perfectamente inscribible en una esfera. Figura N°1

Una de las primeras peculiaridades de esta nueva geodésica es que no podremos hablar de una frecuencia única sino de frecuencia mixta, es decir frecuencias pares  de la forma 2-4; frecuencia 3-6; frecuencia 4-8; etcétera.

A este tipo de geodésicas las llamaremos “Geodésicas Doble Hexaédricas de  Frecuencia a- 2a”

  

Figura N° 1: Unión de dos hexaedros para formar un paralelepípedo de lados “a” y “2a”                                                             

Antes de pasar a estudiar el primer caso es interesante notar que muchas veces resulta un tanto complicado encontrar el radio del poliedro que empleamos, sin embargo conocemos el lado del mismo, en tal caso emplearemos la siguiente constante “t2h” que nos relaciona las diferentes constantes “k” ya no con el radio sino con el lado del hexaedro:

t2h = a x 1.224744871; donde “a” el lado del poliedro.

Entonces, para encontrar la longitud de una cualquiera de las barras de este tipo de geodésicas, bastará con multiplicar el lado “a” del poliedro por la constante relativa a la barra por la constante t2h; según la siguiente expresión tomando el ejemplo de la barra AB

Barra AB = KAB X a x t2h

GEODÉSICA DOBLE HEXADÉDRICA TENSEGRITICA DE FRECUENCIA 2-4

 Figura N°2: Geodésica Doble Hexaédrica de frecuencia 2-4 con las respectivas barras de refuerzo.                                                                                                                                                                                          
         
Debido a que, a diferencia de un triángulo, un cuadrilátero es un poliedro deformable donde uno de sus cuatro puntos puede no estar en el mismo plano que los otros. En tal sentido es necesario trabajar con un sistema de diagonales que estabilicen el conjunto.

 Figura N° 3: Rectángulo Esférico Doble Hexaédrico de frecuencia 2-4 con sus respectivas barras de refuerzo.                                                        

GEODESICA DOBLE HEXAÉDRICA FRECUENCIA 2-4
1	U AB	24.095	K AB=	0.417445069
2	U AC	19.471	K AC=	0.338200162
3	U CD	35.264	K CD=	0.605804411
4	U CE	35.264	K CE=	0.605804411
5	U EF	45.000	K EF=	0.765366865
6	U BD	18.435	K BD=	0.320365368
7	U DF	45.000	K DF=	0.765366865
BARRAS DE REFUERZO
8	U CB	39.232	K CB=	0.671429257
9	U CF	54.736	K CF=	0.919407727

GEODÉSICA DOBLE HEXADÉDRICA TENSEGRITICA DE FRECUENCIA 3-6

Siguiendo con el mismo procedimiento empleado, unimos dos hexaedros por una de las caras y dividimos la arista en tres partes, de tal suerte que tendremos en la cara menor tres secciones y en la cara mayor seis secciones, tal como se aprecia en la figura N° 4.

En este tipo de frecuencia y en general en las geodésicas que mantienen una frecuencia de la forma “impar–par” (es decir 3-6, 5-10, 7-14, etcétera) se puede observar que los seis cuadriláteros centrales tienen sus respectivos vértices en un mismo plano a diferencia del caso anterior, lo cual será muy conveniente a la hora de diseñar puesto que se tratará de trapecios regulares y por consiguiente sus diagonales serán iguales.

En la figura N°5 y foto N°6 se puede apreciar cómo podemos aplicar los conceptos de tensegridad para realizar variaciones en el diseño.

  
Figura N° 4: Rectángulo Esférico Doble Hexaédrico de frecuencia 3-6 con sus respectivas barras de refuerzo.                                                                                                                             

GEODESICA DOBLE HEXAÉDRICA FRECUENCIA 3-6
1	ϴ AB	15.616	K AB=	0.271707811
2	ϴ BB	16.957	K BB=	0.294876553
3	ϴ AC	11.422	K AC=	0.199021570
4	ϴ BD	10.538	K BD=	0.183663670
5	ϴ CD	19.654	K CD=	0.341347686
6	ϴ DD	22.62	K DD=	0.392234582
7	ϴ CE	18.074	K CE=	0.314144507
8	ϴ DF	19.360	K DF=	0.336290588
9	ϴ EF	24.261	K EF=	0.420278064
10	ϴ FF	31.003	K FF=	0.534527208
11	ϴ EG	25.239	K EG=	0.436950743
12	ϴ FH	32.312	K FH=	0.556507142
13	ϴ GH	26.565	K GH=	0.459504972
14	ϴ HH	36.870	K HH=	0.632457227
BARRAS DE REFUERZO
14	ϴ AD	16.102	K AD=	0.280109002
15	ϴ DE	33.255	K DE=	0.572296593
16	ϴ EH	35.998	K EH=	0.618000791
17	ϴ BD	22.286	K BD=	0.386516728
18	ϴ DF	33.004	K DF=	0.568097627
19	ϴ FH	47.459	K CF=	0.804838345

     

Figura N° 5: Estructura Geodésica Tensegrítica Doble Hexaédrica de frecuencia 3-6.

Foto N° 6: Maqueta realizada por los alumnos del curso Estructuras Especiales de una Estructura Geodésica Tensegrítica Doble Hexaédrica de frecuencia 3-6. FIA USMP, Lima. 

Se puede aumentar la frecuencia tanto como sea necesario a fin de lograr mayores luces o una curvatura más definida tal como puede apreciarse en los siguientes ejemplos: 

  

Figura N° 7:   Estructura Geodésica Tensegrítica Doble Hexaédrica de frecuencia 4-8 con puntales de tensegridad     

    

Foto N° 8: Esquema del nudo empleado por los alumnos del curso Orientación Estructural de la Universidad San Martín de Porres. Año 2006

Foto N° 9: Autor con los alumnos de la Escuela de Arquitectura de la Universidad San Martín de Porres, Año 2006



GEODÉSICA  HEXADÉDRICA  DE RADIO VARIABLE

Tal como lo indica su nombre, hacemos que el radio que determina la geodésica varíe de dimensión. Hasta ahora, todos los ejemplos mostrados han tenido un radio el cual ha permanecido constante durante todo el proceso de diseño y nos hemos limitado a tan sólo emplearlo como si se tratase de un elemento invariable del poliedro el cual al ser multiplicado con la constante “k” nos determinaba la longitud de una barra cualquiera de la estructura. Además se relacionó el radio con el lado del poliedro a fin de facilitar un poco las cosas; sin embargo podemos hacer del radio un elemento más de diseño, un poderoso elemento que realmente modifica de forma sustancial el diseño geodésico.

En la figura N° 10 vemos el mismo casquete geodésico de la figura N° 7 pero con un radio que va en crecimiento constante. El porcentaje de aumento en la dimensión en el radio es competencia del diseño que se desea lograr.

Figura N 10: Geodésica de radio variable de frecuencia 4-8, con dos radios..
             

El proceso de diseño no tiene límites, podemos convertir un casquete de un solo radio como el mostrado en la figura N° 10 en otro casquete con cuatro radios que formarán cuatro superficies paralelas tal como se muestra en la figura N° 11

  

Figura N° 11: Geodésica Doble Hexaédrica de Frecuencia 6-12, con cuatro radios de crecimiento progresivo  


                                                           

Figura N° 12: Geodésica de radio variable  Doble Hexaédrica de Frecuencia 6-12, con cuatro radios de crecimiento progresivo

En las figuras N° 11 y N° 12 tenemos el ejemplo del casquete de la geodésica doble hexaédrica de frecuencia 6-12, mostrado en la figura N° 7. Como se aprecia, tenemos cuatro radios que determinan esta estructura, estos radios aumentan de tamaño de forma constante generando cuatro superficies paralelas y equidistantes entre si, sin embargo el radio podría aumentar de tamaño no de forma constante sino según una razón geométrica tal como la secuencia de Fobonacci con lo cual tendríamos otro tipo de resultados.