DOMOS GEODÉSICOS GENERADOS
POR POLIEDROS REGULARES
Francisco Martínez Cendra
Por
definición un domo geodésico poliédrico es un tipo estructura capaz de
inscribirse en una esfera.
Por
lo general se emplean domos generados a partir de un icosaedro. Este volumen
pertenece uno de los cinco poliedros
regulares de Platón y al ser el que posee mayor número de caras fue elegido por
Buckiminster Fuller para desarrollar la teoría que lo signaría como el padre de
las geodésicas.
Pero
esta no es la única forma de hacer una estructura geodésica.
Podemos
hacer domos generados por el tetraedro, el octaedro, el cubo, el dodecaedro y,
por supuesto, el icosaedro; además de otras formas que veremos más adelante.
En
tal sentido hay que entender que una geodésica poliédrica será la unión de cada
una de las caras esféricas del poliedro las cuales se han dividido en partes donde
cada una de ellas ha sido proyectada, por decirlo así, a la esfera que encierra
el poliedro.
Esta
sub división que se realiza en las caras del poliedro es llamada frecuencia.
Figura
N° 1
El
primer triángulo se denomina Triángulo básico y no es otra cosa más que uno de
los diferentes polígonos que forman un poliedro regular, el segundo es de
frecuencia dos, el tercero de frecuencia tres y así sucesivamente.
Cabe
aclarar que la subdivisión del triángulo básico no forma una serie de pequeños
triángulos equiláteros, de hecho, son diferentes unos de otros según ciertas
propiedades geométricas.
Esto
se aplica, como es lógico, para tres de los cinco poliedros regulares, el
tetraedro, octaedro e icosaedro. En el caso de los otros poliedros hablaremos
de cuadrado básico para el cubo con sus respectivas divisiones o frecuencia y
pentágono básico con sus divisiones respectivas para el caso del dodecaedro.
Estas
divisiones se practicarán en función a varios factores, por un lado tenemos la
resistencia que se desee obtener ya que como cualquier estructural sabe, basta
con reticular una estructura para disminuir el largo de las barras y de esta
manera lograr mayor resistencia y mayor luz a cubrir y, a mayor frecuencia,
mayor curvatura esférica, de tal suerte que podríamos decir que una esfera es
una geodésica de frecuencia infinita.
Para
calcular el tamaño de las barras se relaciona el radio de la esfera que
contiene al poliedro que genera la geodésica con una constante “k” relativa a
cada barra.
GEODÉSICAS POLIEDRICAS
GEODÉSICA TETRAEDRICA
Definimos
un tetraedro regular como un poliedro formado por
cuatro caras las cuales son triángulos equiláteros, y con cuatro vértices donde
en cada uno de los cuales concurren tres de las cuatro caras o planos que
conforman este poliedro. 
 |
En
la Figura N°3 tenemos tres triángulos esféricos tetraédricos de frecuencia 2, 3
y 4; para encontrar la medida de cada una de las barras bastará con multiplicar
la constante relativa de cada barra por el radio de la esfera que encierra la
geodésica, según las siguientes tablas:
TETRAEDRO
F2
|
Diedro
|
|||
U AB
|
54.736
|
K
AB=
|
0.91940773
|
|
U BB
|
90.000
|
K
BB=
|
1.41421356
|
TETRAEDRO
F3
|
Diedro
|
|||
U AB
|
29.496
|
K
AB=
|
0.50913638
|
|
U BB
|
50.479
|
K BB=
|
0.85280597
|
|
U BC
|
58.518
|
K
BC=
|
0.97751657
|
TETRAEDRO
F4
|
Diedro
|
|||
U AB
|
19.471
|
K
AB=
|
0.33820016
|
|
U BB
|
33.557
|
K
BB=
|
0.57734509
|
|
U BC
|
35.264
|
K
BC=
|
0.60580441
|
|
U BD
|
30.000
|
K
BD=
|
0.51763809
|
|
U CD
|
45.000
|
K
CD=
|
0.76536686
|
|
U DD
|
60.000
|
K
DD=
|
1
|
En la Figura N°4 vemos como cada uno de los cuatro triángulos básicos del tetraedro se convierte en un triángulo esférico (de frecuencia tres en este caso) La “redondez” del resultado final dependerá de la frecuencia, a mayor frecuencia mayor perfección.
GEODESICA OCTAÉDRICA
Siendo
el Octaedro una figura regular de ocho caras triangulares, estas van a generar
una geodésica compuesta por ocho triángulos básicos, a diferencia del caso
anterior donde las geodésicas tetraédricas eran formadas por tan sólo cuatro
triángulos.
Una
de las principales virtudes de este tipo de estructuras es que la base siempre
estará inscrita en un cuadrado lo cual facilita el diseño, tal como se puede
apreciar en la figura N°5 donde apreciamos un triángulo esférico de frecuencia cuatro
insertado dentro de la geometría de un octaedro.
Figura N° 5.
En la Figura N°6 tenemos tres triángulos esféricos octaédricos de frecuencia 2, 3 y 4; para encontrar la medida de cada una de las barras bastará con multiplicar la constante relativa de cada barra por el radio de la esfera que encierra la geodésica, según las siguientes tablas:
OCTAEDRO
F2
|
Diedro
|
|||
U AB
|
45.000
|
K
AB=
|
0.76536686
|
|
U BB
|
60.000
|
K
BB=
|
1.00000000
|
OCTAEDRO
F3
|
Diedro
|
|||
U AA
|
26.565
|
K
AA=
|
0.45950497
|
|
U BB
|
36.870
|
K
BB=
|
0.63245723
|
|
U BC
|
39.232
|
K
BC=
|
0.67142926
|
|
OCTAEDRO
F4
|
Diedro
|
|||
U AB
|
18.435
|
K
AB=
|
0.32036537
|
|
U BB
|
25.842
|
K
BB=
|
0.44721474
|
|
U BD
|
25.352
|
K
BD=
|
0.43887511
|
|
U DC
|
30.000
|
K
DC=
|
0.51763809
|
|
U BC
|
26.565
|
K
BC=
|
0.45950497
|
|
U DD
|
33.557
|
K
DD=
|
0.57734509
|
Foto N° 7 Maqueta
de una Geodésica octaédrica de frecuencia 3
Foto N° 8 Geodésica octaédrica de frecuencia 3 realizada con tubos de PVC por los alumnos de la Universidad Científica del Sur.
GEODESICA HEXAEDRICA
Siendo
el hexaedro una figura regular de seis caras cuadradas, estas van a generar una
geodésica compuesta por seis cuadrados esféricos básicos, a diferencia de los casos
anteriores donde las geodésicas tetraédricas y octaédricas eran formadas por
cuatro u ocho triángulos esféricos respectivamente.
En
la figura N°9 se pude apreciar cómo se dividen las caras del cubo según la
frecuencia que deseemos donde aparecen cuatro cuadriláteros en la frecuencia
dos, nueve cuadriláteros en la frecuencia tres, dieciséis para la frecuencia
cuatro, etcétera. Sin embargo existen dos problemas, los cuadriláteros no son
estructuralmente estables y no necesariamente forman un plano como el caso de
los triángulos, razón por la cual introducimos dentro de este esquema geodésico
un sistema de barras de refuerzo a fin de estabilizar el conjunto tal como
apreciamos en la figura N°10, donde vemos que al trazar los arcos
correspondientes encontramos los puntos centros de cada cuadrilátero que nos
permitirán triangular el sistema y formar secciones planas que permitan
elaborar una cobertura.
GEODESICA HEXADRICA DE F- 2
|
||||
U AB
|
35,264
|
K
AB=
|
0,60580441
|
|
U BC
|
45,000
|
K
BC=
|
0,76536686
|
|
BARRAS
DE REFUERZO
|
||||
U BD
|
30,000
|
K
BD=
|
0,51763809
|
|
U DC
|
35,264
|
K
DC=
|
0,60580441
|
|
U DA
|
19,471
|
K
DA=
|
0,33820016
|
|
GEODESICA HEXADRICA DE F- 3
|
||||
U AB
|
22,002
|
K
AB=
|
0,38165226
|
|
U BB
|
26,525
|
K
BB=
|
0,45882549
|
|
U BE
|
25,943
|
K
BE=
|
0,44893271
|
|
U EE
|
35,097
|
K
EE=
|
0,60302600
|
|
BARRAS
DE REFUERZO
|
||||
U AC
|
11,422
|
K
AC=
|
0,19902157
|
|
U BC
|
18,932
|
K
BC=
|
0,32892461
|
|
U CE
|
18,074
|
K
CE=
|
0,31414451
|
|
U BD
|
17,364
|
K
BD=
|
0,30190054
|
|
U DE
|
23,093
|
K
DE=
|
0,40032631
|
|
U EF
|
25,239
|
K
EF=
|
0,43695074
|
|
La
frecuencia, como se puede apreciar, puede aumentar tanto como sea necesario a
fin de lograr una mayor resistencia estructural con el objetivo de aumentar la
luz libre. En el libro “De Cúpulas Geodésicas, Fractales, Tensegritys y Algo
Más” se desarrollan todos estos ejemplos hasta la frecuencia seis con sus
respectivas tablas.
Figura
N° 14: Tres rectángulos áureos que se intersecan entre si por el centro de cada
plano determinan un Icosaedro al unir los vértices de cada rectángulo; del
mismo modo, cada vértice coincide con el centro de cada pentágono que determina
un dodecaedro.
Al
igual que en todos los casos estudiados, se puede añadir un sistema de barras
de refuerzo que relaciona los vértices del triángulo con el baricentro del
mismo.
ICOSAEDRO
F2
|
||||
1
|
U AB
|
31,717
|
K
AB=
|
0,546525093
|
2
|
U BB
|
36,000
|
K
BB=
|
0,618033989
|
ICOSAEDRO
F2: BARRAS DE REFUERZO
|
||||
3
|
U AP
|
17,479
|
K
AP=
|
0,303884514
|
4
|
U BP
|
20,095
|
K
BP=
|
0,348929109
|
5
|
U BQ
|
20,905
|
K
BQ=
|
0,362840628
|
ICOSAEDRO
F2: BARRAS ESTABILIZADORAS
|
||||
6
|
U PQ
|
19,898
|
K
PQ=
|
0,345543028
|
7
|
U PP'
|
22,388
|
KPP'=
|
0,388263250
|
ICOSAEDRO
F3
|
|||||
1
|
U AB
|
20,077
|
K
AB=
|
0,348619763
|
|
2
|
U BB
|
23,281
|
K
BB=
|
0,403540584
|
|
3
|
U BC
|
23,800
|
K
BC=
|
0,412408371
|
|
ICOSAEDRO
F3: BARRAS DE REFUERZO
|
|||||
4
|
U AP
|
10,922
|
K
AP=
|
0,190336371
|
|
5
|
U BP
|
12,880
|
K
BP=
|
0,224325372
|
|
6
|
U BQ
|
13,368
|
K
BQ=
|
0,232786774
|
|
7
|
U CQ
|
14,286
|
K
CQ=
|
0,248692357
|
|
ICOSAEDRO
F3: BARRAS ESTABILIZADORAS
|
|||||
8
|
U PQ
|
12,169
|
K
PQ=
|
0,211990146
|
|
9
|
U QQ
|
14,175
|
K
QQ=
|
0,246769961
|
|
10
|
U PP'
|
12,788
|
K
PP'=
|
0,222729729
|
|
11
|
U QQ'
|
13,650
|
K
QQ=
|
0,237674440
|
|
ICOSAEDRO
F4
|
|||||
1
|
U AB
|
14,545
|
K
AB=
|
0,253177038
|
|
2
|
U BC
|
17,172
|
K
BC=
|
0,298587480
|
|
3
|
U BB
|
16,978
|
K
BB=
|
0,295239062
|
|
4
|
U BD
|
16,937
|
K
BD=
|
0,294531298
|
|
5
|
U CD
|
18,000
|
K
CD=
|
0,312868930
|
|
6
|
U DD
|
18,699
|
K
DD=
|
0,324912686
|
|
ICOSAEDRO
F4: BARRAS DE REFUERZO
|
|||||
7
|
U AP
|
7,880
|
K
AP=
|
0,137423578
|
|
8
|
U BP
|
9,367
|
K
BP=
|
0,163302989
|
|
9
|
U BQ
|
9,806
|
K
BQ=
|
0,170938183
|
|
10
|
U DQ
|
9,783
|
K
DQ=
|
0,170538223
|
|
11
|
U BR
|
9,669
|
K
BR=
|
0,168555710
|
|
12
|
U DR
|
10,161
|
K
DR=
|
0,177110600
|
|
13
|
U CR
|
10,293
|
K
CR=
|
0,179405265
|
|
14
|
U CS
|
10,268
|
K
CS=
|
0,178970688
|
|
15
|
U DS
|
10,679
|
K
DS=
|
0,186114046
|
|
16
|
U DT
|
10,812
|
K
DT=
|
0,188425136
|
|
ICOSAEDRO
F4: BARRAS ESTABILIZADORAS
|
|||||
17
|
U PQ
|
8,902
|
K
PQ=
|
0,155212984
|
|
18
|
U QR
|
10,118
|
K
QR=
|
0,176363044
|
|
19
|
U RS
|
10,259
|
K
RS=
|
0,178814238
|
|
20
|
U ST
|
10,637
|
K
ST=
|
0,185384176
|
|
21
|
U PP'
|
9,245
|
K
PP'=
|
0,161180705
|
|
22
|
U RR'
|
10,211
|
K
RR=
|
0,177979819
|
|
Tabla
4.22
Ejemplo del cálculo de una Geodésica
Icosaédrica de Frecuencia Tres.
El
siguiente ejemplo fue desarrollado por los alumnos del curso de Orientación
Estructural que dicté en el primer semestre del año 2002 en la Escuela de
Ingeniería y Arquitectura de la Universidad San Martín de Porres.
Se
realizó una geodésica de radio 3.00m con tubos de PVC de 3/4” de grosor.
Primero se realizaron maquetas en escala 1/20 para entender los procesos
constructivos, luego se trabajó el proyecto en escala 1/1.
Foto
N° 16: Se marca con mucha precisión tomando en cuenta el largo de cada barra y
se hacen las respectivas perforaciones en los extremos aplastados de las
barras. Hay que tomar en cuenta que la medida de cada barra que resulta de
emplear las fórmulas será tomada desde el centro de cada orificio hasta el
centro del orificio del otro extremo de la barra.
Podemos
plantear un reto adicional, construir un domo geodésico empleando conceptos de
tensegridad.
La
Tensegridad es un principio estructural en el cual se tienen elementos rígidos
(barras) y elementos traccionados (cables) que comprimen los elementos rígidos.
Este tipo de estructuras están concebidas de tal forma que las barras no se
tocan entre si y se unen solo mediante cables tensados dando la extraña
sensación de barras flotando y desafiando las leyes de la naturaleza.
Se
eligió para este caso igualmente una geodésica icosaédrica de frecuencia tres
pero aumentando el radio a cuatro metros. Al igual que en el caso anterior se
preparó una maqueta la cual se muestra en la foto N° 19 y luego se preparó a
modo de muestra un módulo el cual sirvió para que los alumnos entiendan el
principio de la tensegridad donde se puede apreciar como la barra central queda
estabilizada con cables de acero.
Los
alumnos fabricaron las piezas cortando tubos de PVC de 1½” las cuales fueron
unidas mediante un nudo elaborado con piezas metálicas, luego se empleó un cable
de acero para equilibrar los elementos estructurales según la lógica
tensegrítica.
.
Finalmente,
gracias al esfuerzo de los entusiastas alumnos del curso de Orientación
Estructural de la FIA USMP primer semestre del año 2003, se logró construir la
primera Geodésica Icosaedrica Tensegrítica de Frecuencia Tres.
GEODESICA DODECAEDRICA
En
todos los casos anteriores vimos que la frecuencia en una geodésica es el
número de particiones con que se divide el triángulo esférico para el caso de
las geodésicas tetraédricas, octaédricas e icosaédricas y en el cuadrado
esférico para el caso particular de las geodésicas hexaédricas, pero cuando
analizamos una geodésica dodecaédrica nos encontramos con un nuevo concepto, el
pentágono esférico.
En
el caso de la frecuencia uno encontramos el centro del pentágono y lo
proyectamos a la esfera para luego unir los vértices del pentágono con este
nuevo punto, de tal suerte que tendremos cinco triángulos isósceles. Cada
triángulo es tratado como cualquiera de los triángulos esféricos vistos
anteriormente.
Figura
N° 25: Pentágono Esférico Dodecaédrico de frecuencia uno con barras de refuerzo.
DODECAEDRO
TRIANGULAR F 1
|
||||
1
|
U AA
|
41,810
|
K
AA=
|
0,713639045
|
2
|
U AB
|
37,377
|
K
AB=
|
0,640845734
|
DODECAEDRO
TRIANGULAR F-1 REFUERZO
|
||||
3
|
U AC
|
23,482
|
K
AC=
|
0,406975921
|
4
|
U BC
|
20,774
|
K
BC=
|
0,360591951
|
DODECAEDRO
TRIANGULAR F-1 ESTABILIZADORAS
|
||||
5
|
U CC
|
24,066
|
K
CC=
|
0,416950058
|
DODECAEDRO
TRIANGULAR F-2
|
||||
1
|
U AB
|
20.905
|
K
AB=
|
0.362840628
|
2
|
U AC
|
16.472
|
K
AC=
|
0.286501601
|
3
|
U CB
|
18.841
|
K
CB=
|
0.327357880
|
4
|
U CC
|
24.214
|
K
CC=
|
0.41947604
|
5
|
U CD
|
20.905
|
K
CD=
|
0.362840628
|
DODECAEDRO
TRIANGULAR F-2 REFUERZO
|
||||
6
|
U AE
|
10.874
|
K
AE=
|
0.189502399
|
7
|
U BE
|
12.099
|
K
BE=
|
0.210775259
|
8
|
U CE
|
9.530
|
K
CE=
|
0.166138210
|
9
|
U BF
|
9.635
|
K
BF=
|
0.167964402
|
10
|
U CF
|
13.051
|
K
CF=
|
0.227290801
|
11
|
U CG
|
13.402
|
K
CG=
|
0.233376142
|
12
|
U DG
|
11.381
|
K
DG=
|
0.198309524
|
DODECAEDRO
TRIANGULAR F-2 ESTABILIZADORAS
|
||||
13
|
U EF
|
12.056
|
K
EF=
|
0.210028932
|
14
|
U FG
|
10.701
|
K
FG=
|
0.186496349
|
15
|
U GG
|
13.321
|
K
GG=
|
0.231972025
|
Ejemplo del cálculo de una Geodésica
Dodecaédrica de frecuencia dos
Diseñamos
una estructura geodésica compuesta por tres pentágonos esféricos de frecuencia
dos la cual tendrá seis puntos de apoyo.
.
Figura
N° 27: Pentágono
esférico dodecaédrico de frecuencia 2
Foto N° 28: Maqueta de una estructura geodésica que resulta de la unión tres pentágonos esféricos, a la derecha se muestra con barras de refuerzo.
Foto
N° 29: Maqueta de una estructura geodésica que resulta de la unión tres
pentágonos esféricos apoyada sobre seis pilares.
Foto N° 30: Detalle de las
barras de refuerzo.
Foto N° 28: Maqueta de una estructura geodésica que resulta de la unión tres pentágonos esféricos, a la derecha se muestra con barras de refuerzo.
